Algebra

Encyclopaedie der mathematischen Wissenschaften und

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Jt angenommen haben. Man hüte sich vor Irrtümern! 4'" 52 III. Ringe und Körper, Koeffizient in g(x), so ist art,bp =F 0 der Koeffizient von x"'+ß in f(x) ·g(x); daher ist f(x) ·g(x) =F 0. Also sind keine Nullteiler vorhanden. Aus dem Beweis ergibt sich noch der Zusatz: Ist 9t ein Integritätsbereich, so ist der Grad von f(x) ·g(x) die Summe der Gradzahlen von f(x) und g(x). • , x,J ein Integritätsbereich. , ... ""'x~· ... 2 oti. Unter dem Grad eines nichtverschwindenden Polynoms versteht man den größten der Grade der von Null verschiedenen Glieder.

Eine Form, wenn alle Glieder den gleichen Grad haben. Produkte von homogenen Polynomen sind wieder homogen, und der Grad des Produkts ist, falls 9t ein Integritätsbereich, gleich der Summe der Gradzahlen der Faktoren. Inhomogene Polynome lassen sich (eindeutig) als Summen von homogenen Bestandteilen verschiedenen Grades schreiben. Multipliziert man zwei solche Polynome f, g von den Gradzahlen m, n, so ist das Produkt der homogenen Bestandteile höchsten Grades, im Fall eines Integritätsbereichs 9t, eine nichtverschwindende Form vom Gradem+ n.

Der Nutzen der Polynome besteht im kommutativen Fall darin, daß man für die Unbestimmten X beliebige Ringelemente (aus moder aus einem kommutativen Ring, der ffi umfaßt) einsetzen kann, ohne g = h und /· g = k zerstört wird. daß die Gültigkeit der Relationen f Das ergibt sich daraus, daß wir h und k nach den gewöhnlichen Gesetzen der Buchstabenrechnung definiert haben; diese gelten ja auch, wenn x durch ein Ringelement ersetzt wird 1 . Das Ringelement, das aus f (x) durch die Einsetzung x = rx entsteht, wird mit f (rx) bezeichnet.

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