Algebra

Algebra für Informatiker by Prof. Dr. Hans Kaiser, Prof. Dr. Rainer Mlitz, Dr. Gisela

By Prof. Dr. Hans Kaiser, Prof. Dr. Rainer Mlitz, Dr. Gisela Zeilinger (auth.)

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Example text

La. ) ... rn(z) dargestellt werden kann. Es gilt fUr diese Abbildungen: (ebenso fUr 0') und (analog fUr lji). Diese Eigenschaften fUhren zur folgenden wichtigen Definition: E~Yle AbbilduYlg \jJ VOyl Uylo£. bglLuppe < H, . bglLUppeYl)homomOlLpwmM , weYlYl gil;t: b0r. h IMmOlLpWmeYl VOyl < H, . h d. h. h -L6:t. 6. 6:t hu/3eYl ~e EYldomOlLpwmeYl. 6:t ~e Au:tomolLpwmeYl VOyl < H, . >. Aus dieser Definition ergeben sich sofort folgende Regeln fUr (Halbgruppen)homomorphismen: F0r. 6 \jJ VOyl < H, . ,tOyl ~yl uYle MeYlge K mil UYleIL "*" gill: 1.

X-(a-ib)) = x2 - 2ax + a 2 + b2 EIR[x] ist also jedes Polynom p(x) aus IR[x] ,{a} darstellbar als Produkt von Linearfaktoren (entsprechend den Nullstellen in R) und quadratischen Faktoren (entsprechend den konjugiert komplexen Nullstellen), sowie eines konstanten Faktors (p[p]). Es folgt speziell, daB jedes Polynom ungeraden Grades aus IR[x] mindestens einen Linearfaktor enthalten muB, also mindestens eine Nullstelle in R haben muB. Sind p(x) und q(x) Polynome Uber einem Korper < K,+,. s(x), wenn (im algebraischen AbschluB von

H-ten UnteMaum. hv~haw de6-<-Mw man die V~e~-<-on ~n~ Vef<-toMaum~ (Abf<~zung: dimKV ) aU d-<-e Anzahf d~ Efemente ~nVt betieb-<-gen von ; es ist also dimKV = k im ersten Fall, dimKV = = im zweiten. hen "BM~" und "uneatr. 6;t. Beispiele: 1. dimKK n = n (kanoni sche Basi s betrachten) , 2. ): dim[C = I, woraus ersichtlich ist, daB die Dimension eines Vektorraums vom zugrundeliegenden Korper abhangt. 3. als Beispiel eines Vektorraums der Dimension Abschnitt < PI (IR) ,+,IR > kennenlernen.

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